課題#
ピタゴラスと音階#
1オクターブは、周波数比 \(2:1\) の音程です。 ピタゴラスは、(\(3, 4, 5\)) を組み合わせた比率を使って1オクターブ中に12の音階を設定しました。 現代の我々が使っている7音階の元となった音階ですが、その違いについて考えてみましょう:
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蝸牛と周波数について
蝸牛と周波数の関連性についての質問はとても興味深いです。しかし、あなたが具体的にどのような情報を求めているかを明確にしていただけますか？ 例えば、蝸牛（人間の耳の一部）についての周波数応答、または蝸牛の生物（snail）と周波数（音や振動）の関係についてなどです。それぞれの情報は大きく異なりますので、より具体的な情報を提供していただけると幸いです。
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蝸牛の構造と音階、特にオクターブとは関係がありますか？
人間の耳の内部には、蝸牛と呼ばれる構造が存在します。この蝸牛は、音を物理的な振動から神経信号へと変換する役割を果たしています。蝸牛の内部には、さまざまな周波数の音に反応する毛細胞が配置されており、これにより我々は音の高さ、つまり音階を認識することができます。
オクターブとは、音楽用語で、ある音階から同じ音階までの距離を指します。例えば、Cから次のCまでを1オクターブと呼びます。周波数で表すと、オクターブは周波数が2倍になることを意味します。つまり、440HzのAから次のAまで（880Hz）は1つのオクターブを表しています。
蝸牛はこのオクターブの概念とも関連しています。蝸牛の毛細胞は、蝸牛の先端から基底部にかけて、周波数の低い音から高い音までを感知するように配置されています。そして、この配置は対数的（つまりオクターブ）になっています。つまり、蝸牛の長さに沿って周波数が2倍になるたびに、毛細胞は一定の距離だけ移動します。この構造により、私たちは音楽のオクターブという概念を体感することができるのです。
ただし、これはあくまで人間の聴覚システムの解釈であり、音楽のオクターブが生物学的な必然性を持つわけではありません。音楽のオクターブという概念は、文化的なものであり、社会的な学習の産物でもあると考えられています。
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蝸牛の渦巻き構造と周波数応答は関係しますか？
蝸牛の渦巻き構造は、人間の耳が音の周波数を解析する能力に密接に関係しています。
蝸牛（コチレアとも呼ばれる）は、内部に液体で満たされた三つの部屋を持つ渦巻き状の管です。これらの部屋の一つ、基底膜の上には、音の周波数に応じて異なる位置で振動する毛細胞が配置されています。基底膜は、蝸牛の窓から始まる部分（基底）が細く硬いのに対して、頂点に向かって広がり柔らかくなるように設計されています。これにより、高周波の音は基底近くで、低周波の音は頂点近くで基底膜を振動させます。
この配置は、蝸牛が特定の周波数の音を特定の位置で解析することを可能にし、これを”トノトピー”と呼びます。つまり、蝸牛の形状と配置は、特定の周波数が特定の位置で解析されるように直接影響を与え、私たちが音のピッチを認識する能力に寄与しています。
したがって、蝸牛の渦巻き構造は、私たちが音の周波数を解析し、音を聞くという体験を可能にする重要な役割を果たしているといえます。
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蝸牛の渦巻き構造は、オクターブと関係しますか？
人間の耳の内部にある蝸牛（コチレア）の形状と音の周波数との間には、一部の研究で示唆されているように、可能な関連性が存在するかもしれません。
蝸牛は、音の周波数を解析するための重要な役割を果たす内耳の部分です。この構造は、特定の周波数の音が特定の位置で解析されるように、毛細胞（音を神経信号に変換する細胞）を配置します。これはトノトピックマッピングと呼ばれ、基本的には音の高さ（周波数）と蝸牛の物理的な位置との間の関係を表しています。
音楽のオクターブは、ある音の周波数がその倍数になることを指します。例えば、440 Hz（通常のA音）の2倍である880 Hzは、1オクターブ上のA音に相当します。
蝸牛の形状とオクターブの関係についての理論がいくつか提唱されています。一部の研究では、蝸牛の渦巻き構造が音の周波数を対数的にマッピングすることで、オクターブに基づく周波数の変化を自然に反映していると提唱されています。この仮説によると、蝸牛の形状と構造が、音楽的なオクターブの概念を体験し理解するための生物学的基盤を提供している可能性があります。
しかしながら、これはまだ完全に理解されているわけではありませんし、この仮説を裏付ける確固とした証拠もまだ得られていません。音楽のオクターブという概念は、文化的なものであり、社会的な学習の産物でもあると考えられています。したがって、蝸牛の形状がオクターブと直接関係していると言い切ることはできません。
以上の情報があくまで一部の理論を示したものであることをご理解ください。また、蝸牛の構造と音の周波数の解析との間の関係については、まだ完全には解明されていないという点もご理解ください。
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ちなみに鼓膜は周波数を分解できますか？
鼓膜は耳の中で最初に音に反応する部分で、音波（空気の振動）を物理的な振動に変換します。しかし、鼓膜自体は周波数を分解する能力を持っていません。それは内耳にある蝸牛の役割です。
鼓膜の主な役割は、外から来る音波を受け取り、それを中耳の骨（つまり、ツチ骨、アブミ骨、ストリーブル）に伝えることです。これらの骨はレバーのように働き、振動を増幅して内耳の蝸牛に送ります。
蝸牛では、これらの振動はさらに液体の波となり、特定の周波数に反応する異なる位置の感覚細胞（毛細胞）を刺激します。このプロセスにより、音の周波数（すなわち、音の高さ）が神経信号として脳に伝えられます。このようにして、私たちは異なる音を聞くことができます。
したがって、鼓膜自体は音の周波数を分解する能力を持っていないものの、音を聴くという過程全体において重要な役割を果たしています。
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打楽器は音階を持たないはずですが、人間が音階を感じるのは何故ですか？
打楽器の音が一部の人々に音階として聞こえる理由は、打楽器の音が実際には単一の周波数ではなく、多数の異なる周波数を含む複雑な音波であるからです。このような音は「非調和音」または「非ピッチ音」とも呼ばれます。
打楽器を打つと、それはその物質（木、金属、皮など）の特性に基づいて多くの異なる周波数で振動します。これらの振動は一緒になって複雑な音波を生成し、それが私たちの耳に届きます。この音波の各成分は、耳の蝸牛で分析され、我々はそれを一つの音として認識します。
しかし、これらの異なる周波数成分の中には、一部が他の成分の整数倍であるという関係があることがあります。これを「調和」と呼びます。例えば、基本周波数が200Hzの音に対して、400Hz、600Hz、800Hz等の成分が含まれている場合、これらは基本周波数の2倍、3倍、4倍となります。
このような調和関係が存在すると、私たちの脳はそれを音階として解釈することができます。これは、脳が音のパターンを認識し、それを音階として解釈する能力によるものです。したがって、打楽器が単音音階を持たないとはいえ、その音を聞いたときに音階を感じることができるのです。
しかし、すべての人が打楽器の音に音階を感じるわけではありません。これは、調和関係を認識し音階として解釈する能力が個人差を持つためです。また、打楽器が生成する音波の複雑さも、音階の認識を難しくする要因となります。
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ところで、ピタゴラスと3, 4, 5について
ピタゴラスと3, 4, 5の関連性は、ピタゴラスの定理に由来しています。ピタゴラスの定理は、直角三角形の三辺の長さに関連する定理で、以下のように表されます：
$a^2 + b^2 = c^2$
ここで、$a$と$b$は直角をはさんだ二辺（直角辺）の長さで、$c$は斜辺（最も長い辺）の長さです。
3, 4, 5はこの定理の最もシンプルな整数解の一つで、$a=3$, $b=4$, $c=5$を定理に代入すると、以下の関係が成り立ちます：
$3^2 + 4^2 = 5^2$
つまり、$9 + 16 = 25$
この3, 4, 5の三つの数値は、ピタゴラスの定理が正しいことを示す最も基本的な例の一つであり、しばしばその説明に用いられます。これは、直角三角形の各辺の長さが3, 4, 5のとき、それがピタゴラスの定理を満たすことを示しています。
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ピタゴラスと3, 4, 5と音階について
ピタゴラスと3, 4, 5の数値、そして音階との関連性は、音楽理論と数学が交錯する興味深い領域です。
ピタゴラスは古代ギリシャの数学者であり哲学者で、彼の名前は「ピタゴラスの音階」や「ピタゴラスの定理」など、多くの重要な数学的および音楽的概念に関連しています。
音楽におけるピタゴラスの最も重要な貢献の一つは、音の高さが振動数の比率によって決まるという考え方を確立したことです。彼は、特定の比率（特に単純な整数比）が醸し出す調和（Harmony）を深く理解していました。
例えば、2:1の比率はオクターブを生み出します。これは、基音（例えば、440HzのA音）の2倍の周波数（この場合、880Hz）が、同じ音名（この場合もA）の1オクターブ上の音になるというものです。
さて、3, 4, 5の比に移りましょう。これらの比率は、音楽的な間隔を生み出すことができます。
3:2の比率は完全五度を生み出します。これは、CからGまで、またはDからAまでのような音階の5つの音階ステップに相当します。
4:3の比率は完全四度を生み出します。これは、CからFまで、またはGからCまでのような音階の4つの音階ステップに相当します。
5の比率は、より複雑な間隔を生み出します。たとえば、5:4の比率は大きな三度（メジャーサード）を、5:3の比率は大きな六度（メジャーシクスス）を生み出します。
このように、ピタゴラスは3, 4, 5といった比率を用いて、音楽的な調和、音階、音程を理解しました。
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音を鳴らしたい
残念ながら、私（Jupyternaut）はテキストベースのアシスタントであり、直接的な音声や音の出力機能は持っていません。しかし、プログラミング環境によっては、音を生成したり再生したりするためのコードを提供することが可能です。
たとえば、Pythonの一部のライブラリを使用して、簡単な音を生成することが可能です。以下に、NumPyとmatplotlibを使って、基本的な正弦波を生成し表示する例を示します。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parameters
frequency = 440 # Frequency in Hz (A4 note)
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 5.0 # Duration in seconds
# Compute waveform
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
# Plot waveform
plt.plot(t[:1000], waveform[:1000])
plt.show()
このコードは、特定の周波数（ここでは440HzのA4音符）の正弦波を作成します。しかし、この波形を聴くためには、適切にエンコードしてオーディオデバイスから出力する必要があります。これには追加のライブラリ（例えば、sounddeviceやpygameなど）が必要となります。
ご自身の環境で音を鳴らす方法について質問があれば、お気軽にお問い合わせください。クライアントのプログラムや、使用している技術スタックによって、解決策は異なる場合があります。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parameters
frequency = 440 # Frequency in Hz (A4 note)
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 5.0 # Duration in seconds
# Compute waveform
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
# Plot waveform
plt.plot(t[:1000], waveform[:1000])
plt.show()
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ここはjupyterです
Jupyter環境であれば、PythonのライブラリIPython.displayを使って音を生成し、再生することが可能です。以下に、440Hzの正弦波（A4音符）を5秒間再生するサンプルコードを示します。
import numpy as np
from IPython.display import Audio
# Parameters
frequency = 440 # Frequency in Hz (A4 note)
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 5.0 # Duration in seconds
# Compute waveform
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
# Create Audio object and play
audio = Audio(waveform, rate=sampling_rate)
audio
このコードをJupyterセルに貼り付けて実行すると、5秒間440Hzの音が再生されます。Audioオブジェクトは、音を再生するための一般的な方法を提供します。この方法を使用すれば、自分で定義した任意の音波を再生することが可能です。
音の周波数や再生時間を変更したい場合は、frequencyやdurationの値を適宜変更してみてください。
import numpy as np
from IPython.display import Audio
# Parameters
frequency = 440 # Frequency in Hz (A4 note)
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 5.0 # Duration in seconds
# Compute waveform
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
# Create Audio object and play
audio = Audio(waveform, rate=sampling_rate)
audio
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ピタゴラス音階と周波数の端数について
ピタゴラス音階は、その名前が示す通り、古代ギリシャの数学者ピタゴラスにより考案されました。この音階は、純粋な五度（周波数比3:2）を12回繰り返すことで、完全な音階を作り上げます。意図的にシンプルな比率を使用することで、音楽的な調和が生じます。
しかしながら、ピタゴラス音階にはいわゆる「ピタゴラスのコンマ」が存在します。これは、純粋な五度を12回繰り返して得られる音高が、初めの音の7オクターブ上とは微妙に異なるという現象です。具体的には、12回の純粋な五度（つまり、周波数比が$(3/2)^{12}$）は、7オクターブ（つまり、周波数比が$2^7$）よりもわずかに高くなります。この差を「ピタゴラスのコンマ」と呼びます。
つまり、ピタゴラスの音階では、音階の開始点と終了点の周波数が完全に一致しないため、周波数の端数が生じます。この問題は、等温度音階という別の音階システムで解決されています。等温度音階では、各音階ステップの周波数比が全て同じになるように調整され、音階の開始点と終了点の周波数が完全に一致します。
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等温度音階とは何ですか？英語ではどう呼ばれますか？
等温度音階（Equal temperament）は、音階を形成する各音の間の周波数比が全て等しくなるように設定された音階システムです。
具体的には、1オクターブを等間隔に分割します。最も一般的な形式である12平均律（12-tone equal temperament）では、オクターブは12の等しいステップに分割されます。これらのステップは半音（またはセミトーン）と呼ばれ、隣接する各音の周波数比は常に2の12乗根（約1.05946）となります。
このシステムの大きな利点は、どの鍵（または音）から始めても、同じ相対的な音程を持つ音階を得ることができるという点です。これにより、音楽家は様々な調に簡単に移行することが可能となります。
英語では、「Equal temperament」や「Evenly spaced scale」と呼ばれます。特に12の等しいステップに分割されたものは「12-tone equal temperament」や「12 equal temperament」と呼ばれます。
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日本語では平均律と呼ぶのが一般的で、等温度音階という呼び方は聞いた事がありません。
ご指摘いただき、ありがとうございます。私の説明が混乱を招いた場合、申し訳ありません。
日本語では、「平均律」が一般的に使われる表現です。英語の “Equal Temperament” を直訳すると「等温度音階」になりますが、日本語の音楽理論の文脈ではほとんど使われません。
「平均律」は、全ての半音（音階の一歩）が周波数比において等しい音階を指します。これは、「12平均律」が最も一般的な形式で、1オクターブを12の等しいステップに分割します。
この「平均律」システムの利点は、どの音から始めても、同じ相対的な音程を持つ音階を得ることができるという点です。これにより、音楽家は様々な調性に簡単に移行することが可能となります。
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吹奏楽部で純正律に拘る人がいるのは何故ですか？
純正律（Just Intonation）は、音楽のチューニングシステムの一つで、各音程が単純な周波数比（つまり、整数比）を持つように設定されます。例えば、完全五度は3:2の比率、大きな三度は5:4の比率で表されます。
純正律に拘る理由は主に以下の2点です：
調和的な響き：純正律は、音の波形が整数比で重なるため、非常に調和的な響きを生み出します。これは、音の「純粋さ」や「自然さ」を重視する音楽家や聴衆にとっては魅力的です。
特定の音楽スタイルやジャンルへの適合性：純正律は、特定の音楽スタイルやジャンル、たとえばバロック音楽や伝統的な民族音楽、合唱音楽などに適しています。これらのスタイルでは、純正律の持つ特定の音程の関係性が音楽の表現に深く組み込まれています。
ただし、純正律には欠点もあります。純正律でチューニングされた楽器は、一つの調性でしか完全には調和しないため、他の調性に移行すると音程が「狂って」しまうことがあります。これに対して、平均律はどの調性でも同じように聞こえるため、現代の音楽で広く使われています。
吹奏楽部のようなアンサンブルの設定では、楽器間の調和を最大化するために、純正律でのチューニングが選ばれることがあります。特に、合奏の中での和音の響きを最適化するためには、純正律が有効な場合があります。
そのため、純正律に拘る人がいるというのは、音楽表現の一部として、特定の音程の関係や響きを追求しているからかもしれません。
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jupyterでピタゴラス音階でドレミファソラシドを鳴らす
Jupyterで音を生成し、再生するためには、PythonのライブラリnumpyとIPython.displayを使用します。以下に、ピタゴラス音階でド (C) レ (D) ミ(E) ファ (F) ソ (G) ラ (A) シ(B) ド (C) を生成し、再生するサンプルコードを示します。
以下のコードは、基準となるド (C) の周波数を定義し、その後の音をピタゴラス音階に基づいて算出します。完全五度の周波数比は3:2で、これを12回繰り返すことで音階を作ります。ただし、12回の完全五度で得られる音高は元の音の7オクターブ上よりもわずかに高くなるため、それぞれの音を1オクターブ以内に収めるために周波数を半分にする操作を適宜行います。
import numpy as np
from IPython.display import Audio, display
# Parameters
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 0.5 # Duration in seconds
def generate_tone(frequency, duration, sampling_rate):
"""Generate a tone with the given frequency and duration."""
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
return waveform
# Frequencies for Pythagorean tuning
C4 = 256 # Set the frequency for C4
D4 = C4 * 9/8
E4 = D4 * 9/8
F4 = E4 * 256/243
G4 = F4 * 9/8
A4 = G4 * 9/8
B4 = A4 * 9/8
C5 = B4 * 256/243
if C5 > 2 * C4: # Bring C5 within one octave of C4
C5 /= 2
# Generate tones for the Pythagorean scale
tones = []
for frequency in [C4, D4, E4, F4, G4, A4, B4, C5]:
tone = generate_tone(frequency, duration, sampling_rate)
tones.append(tone)
# Concatenate and play the tones
scale = np.concatenate(tones)
display(Audio(scale, rate=sampling_rate))
このコードを実行すると、ピタゴラス音階に基づくドレミファソラシドの音が順番に再生されます。
import numpy as np
from IPython.display import Audio, display
# Parameters
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 0.5 # Duration in seconds
def generate_tone(frequency, duration, sampling_rate):
"""Generate a tone with the given frequency and duration."""
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
return waveform
# Frequencies for Pythagorean tuning
C4 = 256 # Set the frequency for C4
D4 = C4 * 9/8
E4 = D4 * 9/8
F4 = E4 * 256/243
G4 = F4 * 9/8
A4 = G4 * 9/8
B4 = A4 * 9/8
C5 = B4 * 256/243
if C5 > 2 * C4: # Bring C5 within one octave of C4
C5 /= 2
# Generate tones for the Pythagorean scale
tones = []
for frequency in [C4, D4, E4, F4, G4, A4, B4, C5]:
tone = generate_tone(frequency, duration, sampling_rate)
tones.append(tone)
# Concatenate and play the tones
scale = np.concatenate(tones)
display(Audio(scale, rate=sampling_rate))
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ピタゴラス音階のコードで、ピタゴラスのコンマはどう処理されていますか？
提供したピタゴラス音階のコードでは、「ピタゴラスのコンマ」については特別な処理は行われていません。各音は基準となるド（C4）からの純粋な五度の比率に基づいて生成されています。
このため、B4からC5への音程は理想的な半音（等温度音階における隣接する2音の間隔）よりも少し大きくなります。これは「ピタゴラスのコンマ」の現象によるもので、純粋な五度を12回繰り返すと、元の音の7オクターブよりもわずかに高い音が得られるためです。
コードでは、これを簡単に示すために、C5がC4の2倍の周波数になるように調整しました。具体的には、C5の周波数がC4の2倍を超えた場合、C5の周波数を半分にすることで1オクターブ内に収めています。しかし、これによりC5の周波数がB4の純粋な五度とは異なる値になり、ピタゴラス音階の原則から逸脱しています。
ピタゴラスのコンマを正確に扱うには、より複雑な調整が必要です。一般的には、全体の音階を調整して各音程の不均衡を最小限に抑えるため、ピタゴラスのコンマを全ての音程に均等に分散します。しかし、これは一部の音程が純粋な比率から逸脱することを意味します。このような妥協は、音楽のチューニングと音階の選択における一般的なテーマで、理想的な調和と実用性の間のバランスを取る必要があります。
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jupyterで平均律でドレミファソラシドを鳴らす
Jupyterで音を生成し、再生するためには、PythonのライブラリnumpyとIPython.displayを使用します。以下に、平均律でド (C) レ (D) ミ (E) ファ (F) ソ (G) ラ (A) シ (B) ド (C) を生成し、再生するサンプルコードを示します。
以下のコードは、基準となるド (C) の周波数を定義し、その後の音を平均律に基づいて算出します。平均律では、隣接する各音の周波数比は常に$2^{1/12}$（約1.05946）となります。
import numpy as np
from IPython.display import Audio, display
# Parameters
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 0.5 # Duration in seconds
def generate_tone(frequency, duration, sampling_rate):
"""Generate a tone with the given frequency and duration."""
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
return waveform
# Frequencies for equal temperament
C4 = 261.63 # Set the frequency for C4
D4 = C4 * 2**(2/12)
E4 = C4 * 2**(4/12)
F4 = C4 * 2**(5/12)
G4 = C4 * 2**(7/12)
A4 = C4 * 2**(9/12)
B4 = C4 * 2**(11/12)
C5 = C4 * 2**(12/12)
# Generate tones for the equal temperament scale
tones = []
for frequency in [C4, D4, E4, F4, G4, A4, B4, C5]:
tone = generate_tone(frequency, duration, sampling_rate)
tones.append(tone)
# Concatenate and play the tones
scale = np.concatenate(tones)
display(Audio(scale, rate=sampling_rate))
このコードを実行すると、平均律に基づくドレミファソラシドの音が順番に再生されます。
import numpy as np
from IPython.display import Audio, display
# Parameters
sampling_rate = 44100 # Sampling rate in Hz
duration = 0.5 # Duration in seconds
def generate_tone(frequency, duration, sampling_rate):
"""Generate a tone with the given frequency and duration."""
t = np.arange(int(sampling_rate * duration)) / sampling_rate
waveform = 0.5 * np.sin(2 * np.pi * frequency * t)
return waveform
# Frequencies for equal temperament
C4 = 261.63 # Set the frequency for C4
D4 = C4 * 2**(2/12)
E4 = C4 * 2**(4/12)
F4 = C4 * 2**(5/12)
G4 = C4 * 2**(7/12)
A4 = C4 * 2**(9/12)
B4 = C4 * 2**(11/12)
C5 = C4 * 2**(12/12)
# Generate tones for the equal temperament scale
tones = []
for frequency in [C4, D4, E4, F4, G4, A4, B4, C5]:
tone = generate_tone(frequency, duration, sampling_rate)
tones.append(tone)
# Concatenate and play the tones
scale = np.concatenate(tones)
display(Audio(scale, rate=sampling_rate))