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YBC 7289 (3)

YBC 7289 (3)#

相加相乗平均の関係式#

\[ \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \]

\(y = \frac{S}{x}\) とおく

\[ \frac{1}{2} \left( x + \frac{S}{x} \right) \geq \sqrt{x \cdot \frac{S}{x}} = \sqrt{S} \]

\(S = 2\) のとき

\[ \frac{1}{2}\left( x+\frac{2}{x} \right) \geq \sqrt{x \cdot \frac{2}{x}} = \sqrt{2} \]

Note

Plimpton 322の数表を生成する際に利用した方程式を変形し、 古代メソポタミアの人たちは、\(2\)の平方根を計算する方法に辿り着いたと考えられています。

import math
math.sqrt(2), 2/math.sqrt(2)

(1.4142135623730951, 1.414213562373095)

def f(x):
    return (x + 2/x)/2

x = 1.5
x, 2/x, f(x)

(1.5, 1.3333333333333333, 1.4166666666666665)

x = 1.4166666666666665
x, 2/x, f(x)

(1.4166666666666665, 1.411764705882353, 1.4142156862745097)

x = 1.4142156862745097
x, 2/x, f(x)

(1.4142156862745097, 1.41421143847487, 1.4142135623746899)

def f(x):
    return (x + 2/x) / 2

x = 2
for i in range(6):
    x = f(x)
    print("x = {0:.10f}, 2/x = {1:.10f}, x**2 = {2:.10f}".format(x, 2/x, x**2))

x = 1.5000000000, 2/x = 1.3333333333, x**2 = 2.2500000000
x = 1.4166666667, 2/x = 1.4117647059, x**2 = 2.0069444444
x = 1.4142156863, 2/x = 1.4142114385, x**2 = 2.0000060073
x = 1.4142135624, 2/x = 1.4142135624, x**2 = 2.0000000000
x = 1.4142135624, 2/x = 1.4142135624, x**2 = 2.0000000000
x = 1.4142135624, 2/x = 1.4142135624, x**2 = 2.0000000000

数式で表すと･･･#

数列 \(x_{n}\) を次の式で定義する

\[ x_{n+1} = \frac{1}{2}\left( x_{n}+\frac{2}{x_{n}} \right) \geq \sqrt{x_{n} \cdot \frac{2}{x_{n}}} = \sqrt{2} \]

\(x_{n} - x_{n+1}\) を求める

\[\begin{split} \begin{align} x_{n} - x_{n+1} & = x_{n} - \frac{1}{2}\left( x_{n}+\frac{2}{x_{n}}\right) \\ & = \frac{1}{2} x_{n} - \frac{1}{x_{n}} \\ & = \frac{1}{x_{n}}\left(\frac{1}{2} {x_{n}}^2 - 1\right) \\ & \geq 0 \quad (\textrm{where}\ x_{n} \geq \sqrt{2}) \end{align} \end{split}\]

\(x_{n} \geq \sqrt{2}\) のとき、\(x_{n} - x_{n+1} > 0\)、すなわち \(x_{n} > x_{n+1} > \cdots \geq \sqrt{2}\) である。

Note

数列\(x_{n}\)は単調に減少することは簡単に証明できますが、\(\sqrt{2}\)に収束することは自明ではありません。

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